Dilatación

Se denomina dilatación térmica al aumento de longitud, volumen o alguna otra dimensión métrica que sufre un cuerpo físico debido al aumento de temperatura que se provoca en él por cualquier medio. La contracción térmica es la disminución de propiedades métricas por disminución de la misma.

Dilatación lineal[editar]

Es aquella en la cual predomina la variación en una única dimensión, o sea, en el ancho, largo o altura del cuerpo. El coeficiente de dilatación lineal, designado por α_L, para una dimensión lineal cualquiera, se puede medir experimentalmente comparando el valor de dicha magnitud antes y después:

\alpha_L = \frac {1} {L} \left ( \frac {dL} {dT} \right )_P = \left ( \frac {d \ln L} {dT} \right )_P \approx \frac {1} {L} \left ( \frac {\Delta \ L} {\Delta \ T} \right )_P.

Donde

\Delta L

, es el incremento de su integridad física cuando se aplica un pequeño cambio global y uniforme de temperatura

\Delta T

a todo el cuerpo. El cambio total de longitud de la dimensión lineal que se considere, puede despejarse de la ecuación anterior:

$L_f = L_0 [1 +\alpha_L (T_f - T_0)]\;$

Donde:

α=coeficiente de dilatación lineal [°C^-1]

L₀ = Longitud inicial

L_f = Longitud final

T₀ = Temperatura inicial.

T_f = Temperatura final

Dilatación volumétrica[editar]

Animación: Dilatación y contracción volumétrica de un gas por variación de la temperatura.

Es el coeficiente de dilatación volumétrico, designado por α_V, se mide experimentalmente comparando el valor del volumen total de un cuerpo antes y después de cierto cambio de temperatura como, y se encuentra que en primera aproximación viene dado por:

$\alpha_V \approx \frac{1}{V(T)}\frac{\Delta V(T)}{\Delta T} = \frac{d\ln V(T)}{dT}$

Experimentalmente se encuentra que un sólido isótropo tiene un coeficiente de dilatación volumétrico que es aproximadamente tres veces el coeficiente de dilatación lineal. Esto puede probarse a partir de la teoría de la elasticidad lineal. Por ejemplo si se considera un pequeño prisma rectangular (de dimensiones: L_x, L_y y L_z), y se somete a un incremento uniforme de temperatura, el cambio de volumen vendrá dado por el cambio de dimensiones lineales en cada dirección:

$\begin{matrix} \Delta V = V_f - V_0 = & ((1+\alpha_L\Delta T)L_x\cdot (1+\alpha_L\Delta T)L_y\cdot (1+\alpha_L\Delta T)L_z)- L_xL_yL_z= \\ & = (3\alpha_L\Delta T+ 3\alpha_L^2\Delta T^2+ \alpha_L^3\Delta T^3)(L_xL_yL_z) \approx 3\alpha_L\Delta T V_0 \end{matrix}$

Esta última relación prueba que

\scriptstyle \alpha_V\ \approx\ 3 \alpha_L

, es decir, el coeficiente de dilatación volumétrico es numéricamente unas 3 veces el coeficiente de dilatación lineal de una barra del mismo material.

Dilatación de área[editar]

Cuando un área o superficie se dilata, lo hace incrementando sus dimensiones en la misma proporción. Por ejemplo, una lámina metálica aumenta su largo y ancho, lo que significa un incremento de área. La dilatación de área se diferencia de la dilatación lineal porque implica un incremento de área.

El coeficiente de dilatación de área es el incremento de área que experimenta un cuerpo de determinada sustancia, de área igual a la unidad, al elevarse su temperatura un grado centígrado. Este coeficiente se representa con la letra griega gamma (γ). El coeficiente de dilatación de área se usa para los sólidos. Si se conoce el coeficiente de dilatación lineal de un sólido, su coeficiente de dilatación de área será dos veces mayor:

$\gamma_A \approx 2 \alpha$

Al conocer el coeficiente de dilatación de área de un cuerpo sólido se puede calcular el área final que tendrá al variar su temperatura con la siguiente expresión:

$A_f = A_0 [1 +\gamma_A (T_f - T_0)]\;$

Donde:

γ=coeficiente de dilatación de área [°C^-1]

A₀ = Área inicial

A_f = Área final

T₀ = Temperatura inicial.

T_f = Temperatura final

Causa de la dilatación[editar]

En un sólido las moléculas tienen una posición razonablemente fija dentro de él. Cada átomo de la red cristalina vibra sometido a una fuerza asociada a un pozo de potencial, la amplitud del movimiento dentro de dicho pozo dependerá de la energía total de átomo o molécula. Al absorber calor, la energía cinética promedio de las moléculas aumenta y con ella la amplitud media del movimiento vibracional (ya que la energía total será mayor tras la absorción de calor). El efecto combinado de este incremento es lo que da el aumento de volumen del cuerpo.

En los gases el fenómeno es diferente, ya que la absorción de calor aumenta la energía cinética media de las moléculas lo cual hace que la presión sobre las paredes del recipiente aumente. El volumen final por tanto dependerá en mucha mayor medida del comportamiento de las paredes. Resultado de imagen para IMAGENES DE DILATACION

Resultado de imagen para IMAGENES DE DILATACION

Dilatación Lineal, Superficial, y Volumétrica – Ejercicios Resueltos

Heeeeeey!! qué tal amigos, hoy les traigo un post pero muy bueno sobre la dilatación lineal, y es que saber sobre este tema nos abre un poco la mente para conocer que no solo los sólidos se dilatan, sino también los gases, y líquidos, pero esta vez nos enfocaremos en la dilatación de los sólidos.

Con mucho trabajo y proyectos en puerta, cuesta escribir en detalle, por lo que por ahora nos centraremos en la dilatación lineal, así que comenzamos. ¡Toma asiento, libreta y lápiz en mano!, claro sin dejar a un lado la calculadora y un poco de lógica… vamos a ello.

¿Qué es la dilatación lineal?

La dilatación es un efecto natural muy conocido y que ocurre cuando las dimensiones de los cuerpos aumentan en presencia de la elevación de la temperatura, salvo algunas excepciones que veremos mucho más adelante o quizá en otro post. Lo curioso de la dilatación es que cuando este fenómeno ocurre, después de cierto tiempo y que la temperatura vuelve a su estado original o normal, todo cuerpo dilatado vuelve a su estado inicial.

¿Por qué ocurre la dilatación?

Si bien la dilatación es un fenómeno natural pero con una determinada explicación, y esto se basa desde su origen, es decir; todo lo que ocupa un lugar en el espacio tiene masa y a su vez esta formada por un conjunto de átomos.

Recordar: En los sólidos los átomos están demasiados juntos y ordenados unos a otros, eso da que tenga la forma estructural que lo caracteriza, también conocida como red cristalina del sólido.

Al conservar esa estructura, los átomos al elevarse la temperatura tienden a separarse a cierta distancia unos a otros, eso ocasiona que el sólido aumente de tamaño, es decir: que se dilate…!

Hagamos ahora el siguiente análisis con una barra de aluminio.

Yo se que a más de uno, las ecuaciones le causan mucha confusión, pero es fácil poder analizarlo, veamos lo siguiente.

Al analizar el fenómeno, establezcamos que la barra de aluminio está en condiciones iniciales, es decir, a temperatura inicial, y longitud inicial.

Para ello, le pongamos nombre.

$\displaystyle {{L}_{o}}=$ Longitud Inicial

$\displaystyle {{t}_{o}}=$ Temperatura Inicial

Por lo contrario

$\displaystyle L=$ Longitud Final

$\displaystyle t=$ Temperatura Final

Entonces, una variación de temperatura produce una dilatación.

Los científicos empezaron a medir distintas barras con diferente material para ver el comportamiento que tenían al someterse a diferentes cambios de temperatura, entonces se dieron cuenta que la dilatación,depende de la longitud inicial y del aumento de temperatura, siendo proporcional a ambos, es decir.

$\displaystyle \Delta L=\alpha {{L}_{o}}\Delta t$ –> Ecuación Principal

Esto quiere decir que, esa ecuación nos permite calcular la dilatación de cualquier dimensión lineal…

Sin embargo para fines de los ejercicios aquí resueltos, vamos a usar esa misma fórmula pero más desglosada.

La diferencia de longitud, entra la final y la inicial está dada por la ecuación:

$\displaystyle \Delta L={{L}_{f}}-{{L}_{o}}$

Reemplazando este valor en nuestra ecuación principal

Ahora esto nos queda.

$\displaystyle {{L}_{f}}-{{L}_{o}}=\alpha {{L}_{o}}\Delta t$

Despejando la longitud final.

$\displaystyle {{L}_{f}}={{L}_{o}}+\alpha {{L}_{o}}\Delta t$

Factorizando el segundo miembro

$\displaystyle {{L}_{f}}={{L}_{o}}(1+\alpha \Delta t)$

Recordar también que;

$\displaystyle \Delta t={{t}_{f}}-{{t}_{o}}$

Es decir, la temperatura final menos la temperatura inicial, nos da la diferencial de temperatura.

En la fórmula también observamos una letra del alfabeto griego, “alfa” $\displaystyle \alpha$

Esa constante de proporcionalidad, la reemplazaremos por cualquier coeficiente de dilatación lineal, es decir; el aluminio, el cobre, el vidrio común tienen distintas constantes de dilatación, pues no todos alcanzan la misma longitud al dilatarse, algunos más que otros, y otros menos.

Veamos la siguiente tabla de coeficientes de dilatación.

Ahora veamos el siguiente ejercicio resuelto.

Ejercicios resueltos de Dilatación Lineal

1.- Los rieles de una vía de tren de acero, tienen 1500 m de longitud . ¿Qué longitud tendrá cuando la temperatura aumente de 24°C a 45°C?

Solución: El problema es muy sencillo, por lo cual no requiere mucho análisis, sin embargo vamos a tocar ese punto antes de comenzar a resolverlo.

Si bien se sabe, los rieles en las vías del ferrocarril, normalmente se le coloca un espacio entre ellas a cierta distancia para cuando éste material se dilate a ciertas horas del día.

Ahora anotemos nuestros datos:

Datos:

$\displaystyle {{L}_{o}}=1500m$ –> Longitud Inicial

$\displaystyle {{L}_{f}}=\text{?}$ –> Longitud Final –> La vamos a encontrar

$\displaystyle {{t}_{o}}=24{}^\circ C$ –> Temperatura Inicial

$\displaystyle {{t}_{f}}=45{}^\circ C$ –> Temperatura Final

$\displaystyle \alpha =11x{{10}^{-6}}{}^\circ {{C}^{-1}}$ –> Coeficiente de dilatación lineal del Acero.

Hemos elegido acero, porque el problema nos pide que son vías del ferrocarril de acero.

Lo único que haremos será sustituir nuestros datos, en la fórmula final.

$\displaystyle {{L}_{f}}={{L}_{o}}(1+\alpha \Delta t)$

Pero antes de sustituir, debemos saber cual es el valor de la diferencial de temperatura, para poder meterla en la fórmula, esa diferencial es la resta de la temperatura más alta, con la temperatura más baja.

$\displaystyle \Delta t=45{}^\circ C-24{}^\circ C=21{}^\circ C$

Ahora si, a sustituir en la fórmula.

$\displaystyle {{L}_{f}}=1500m(1+21{}^\circ C\cdot 11x{{10}^{-6}}{}^\circ {{C}^{-1}})$

$\displaystyle {{L}_{f}}=1500m(1+2.31x{{10}^{-4}})$

$\displaystyle {{L}_{f}}=1500m(1.000231)$

$\displaystyle {{L}_{f}}=1500.3465m$

Si observamos, las vías del tren se han dilatado solo .3465 metros, es decir 346.5 milimetros, muy poco, pero significativo para la distancia entre las juntas de riel.

Ahora veamos otro ejemplo

2.- En un experimento en laboratorio los ingenieros quieren saber la temperatura en la que un cuerpo de plomo alcanza los 25.43 m de longitud, cuando inicialmente se mantiene 25.34 m a una temperatura de 26°C.

Solución: El problema nos pide la temperatura final de un cuerpo de plomo cuando éste alcanza una longitud final de 25.43, para ello vamos a considerar primeramente nuestros datos:

$\displaystyle {{L}_{o}}=25.34m$ –> Longitud Inicial

$\displaystyle {{L}_{f}}=25.43m$ –> Longitud Final

$\displaystyle {{t}_{o}}=26{}^\circ C$ –> Temperatura Inicial

$\displaystyle {{t}_{f}}=x{}^\circ C$ –> Temperatura Final (La que vamos a encontrar)

$\displaystyle \alpha =29x{{10}^{-6}}{}^\circ {{C}^{-1}}$ –> Coeficiente de dilatación lineal del Plomo.

Ahora solamente tenemos que despejar nuestra fórmula en términos de la temperatura final.

$\displaystyle {{L}_{f}}-{{L}_{0}}=\alpha {{L}_{0}}\Delta t$

$\displaystyle \frac{{{L}_{f}}-{{L}_{0}}}{\alpha {{L}_{0}}}=\Delta t$

Ahora tenemos que invertir la ecuación, para mayor comodidad

$\displaystyle \Delta t=\frac{{{L}_{f}}-{{L}_{0}}}{\alpha {{L}_{0}}}$

Posteriormente si sabemos que $\displaystyle \Delta t={{t}_{f}}-{{t}_{o}}$

Entonces

$\displaystyle {{t}_{f}}-{{t}_{o}}=\frac{{{L}_{f}}-{{L}_{0}}}{\alpha {{L}_{0}}}$

Despejando la temperatura final:

$\displaystyle {{t}_{f}}=\frac{{{L}_{f}}-{{L}_{0}}}{\alpha {{L}_{0}}}+{{t}_{0}}$

Ahora reemplazamos nuestros datos:

$\displaystyle {{t}_{f}}=\frac{25.43-25.34}{(29x{{10}^{-6}})(25.34)}+26=148.4772{}^\circ C$

Por lo que tenemos una temperatura final de 148.4772°C

Y eso nos da a entender que justamente cuando el cuerpo alcanza cierta dilatación final de 25.34m, lo hace cuando la temperatura está a los 148.4772°C

Fisca_2

Saturday, October 24, 2015

DILATACION